Solución al desafío matemático de la Lotería de Navidad: un número de segmentos muy variable | Lotería de Navidad

Ya hay solución al desafío matemático con motivo del Sorteo de la Lotería de Navidad que, un año más, fue propuesto por Adolfo Quirós Gracián, profesor de Universidad Autónoma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española.

Recordemos el desafío. En un billete de lotería, que mide 11 cm de ancho y 6,5 cm de alto, trazamos una línea recta que comienza en la esquina inferior izquierda y llega al punto del lado derecho y a 3,6 cm del borde inferior del décimo. Luego, movemos este punto horizontalmente al lado izquierdo del décimo y, a partir de ese punto movido, dibujamos un nuevo segmento paralelo al anterior. Este segmento «sale» del décimo en el lado superior. Movemos el punto de salida verticalmente hacia abajo y dibujamos un tercer segmento paralelo. El proceso se repite: si dejamos la décima a la derecha nos movemos horizontalmente hacia el borde izquierdo de la décima y si dejamos la superior nos movemos verticalmente hacia el borde inferior. Después de cada transferencia, diseñamos un nuevo segmento paralelo a los anteriores.

El desafío fue, en primer lugar, decidir cuántos segmentos habríamos trazado antes de llegar a la esquina superior derecha del décimo. Posteriormente hubo que responder a la misma pregunta, asumiendo ahora que el primer punto al que llegamos estaba situado en el lado derecho, pero a una altura de 3,9 cm desde el borde inferior del décimo.

Las respuestas son que debes dibujar 100 segmentos en el primer caso, pero solo 7 en el segundo. Veamos por qué.

Cuando tenemos que «salir» del décimo, ponemos un nuevo décimo al lado y seguimos trazando la línea. Esto equivale a moverse hacia el lado opuesto. Por tanto, podemos pensar que tenemos un décimo tapiz con m filas xn columnas, por lo que el tamaño es de mx6,5 cm de alto y nx11 cm de ancho, y lo que hicimos fue unir las esquinas inferior izquierda y superior derecha del tapiz. con una sola línea de pendiente 3.6 / 11, como se muestra (con otros valores) en el dibujo a continuación

Para que la línea llegue a la esquina superior derecha, debe ser mx6.5 / nx11 = 3.6 / 11, es decir, debe ser m / n = 3.6 / 6.5 con m, n el menor número de enteros posible. Tenemos m / n = 36/65 y, dado que 36 y 65 no tienen factores comunes, los hombres más pequeños son m = 36, n = 65.

La pregunta ahora es cuántas décimas habremos gastado antes de llegar a nuestro destino.

Ingresamos una nueva décima cada vez que cruzamos una línea horizontal o vertical que separa las décimas. Hay m-1 del primero y n-1 del segundo. Si sumamos la décima en la que dibujamos el primer segmento (antes de cruzar cualquier línea), resulta que el total de décimas cruzadas y, por tanto, el total de segmentos, es (m-1) + (n-1) + 1 = m + n-1. Cabe destacar que nunca antes habíamos cruzado una esquina, porque cuando eso sucede, significa que llegamos a la esquina superior derecha de la décima.

Como vimos que era m = 36, n = 65, el número de segmentos dibujados es 36 + 65 – 1 = 100.

Si repetimos el mismo razonamiento con el primer punto que se alcanza ahora ubicado a una altura de 3,9 cm, llegamos a m / n = 3,9 / 6,5 = 39/65. Pero ahora 39 = 3×13 y 65 = 5×13, de modo que m / n = 3/5 y el momento en que se alcanza la esquina superior derecha corresponde am = 3, n = 5, por lo que el número de segmentos graficados habrá sido solo 3 + 5-1 = 7.

Experimentando con más medidas, puede ver cuánto varía el número de segmentos: para un primer punto ubicado a una altura de 3,25 cm, solo se necesitan 2 segmentos; Pero si el primer punto tiene 3,26 cm de altura, los segmentos necesarios serían 975.

Se recibieron aproximadamente 300 soluciones dentro del período prescrito, de las cuales aproximadamente el 60% fueron correctas. Muchas de las incorrectas se deben a lo que parecen ser pequeños errores. De hecho, el error más frecuente es decir que se necesitan 65 segmentos en el primer caso y 5 en el segundo. Tenga en cuenta que estos son los valores que llamamos n en nuestra solución. Leer los correos electrónicos de los lectores que dieron estos valores sugiere que encontraron el procedimiento para resolver el desafío, pero se olvidaron de contar los casos en los que el segmento deja el décimo desde el borde superior.

Las respuestas correctas se han conseguido generalmente con consideraciones de nuestro estilo, aunque no siempre coincidiendo en los detalles (hubo, por ejemplo, muchas invocaciones al mínimo común múltiplo). Pero también hubo lectores que utilizaron otros métodos, incluida la escritura de programas de computadora para mantenerse al día con los altibajos de la industria.

El número de lectores que se han suscrito a sus soluciones gráficas de alta calidad ha sido notable. ¡La solución de Alejandro RG fue incluso un video! A modo de ejemplo, presentamos dos gráficos animados, uno de los enviados por Álvaro GH, que muestra cómo aparecen los 100 segmentos de la primera parte del desafío.

y el de José Luis PC, que recoge la solución a la segunda pregunta en Navidad.

Algunos lectores han sugerido que disfrazamos un problema aritmético como geometría. Tienen alguna razón, pero no todas, porque nuestra forma de resolver el desafío comienza implícitamente considerando una similitud de triángulos (varios lectores fueron más explícitos y mencionaron la Teorema de cuentos) Aunque hay otras formas de presentar la solución, creemos que simplifica la discusión.

Por otro lado, la idea de continuar hacia la izquierda cuando el segmento sale por la derecha equivale a pegar los dos lados de la décima, transformándola en un cilindro. Si, posteriormente, para evitar pasarnos, pegamos las puntas superior e inferior del cilindro que obtuvimos (no es fácil hacerlo con una décima de papel, pero usemos nuestra imaginación), obtenemos la figura geométrica que en matemáticas, llamamos toro, más conocido como donut.

Por lo tanto, nuestro desafío podría haberse planteado en términos de enrollar un hilo alrededor de un toro / rosquilla y es el hecho aritmético de que los números 3,6 / 6,5 y 3,9 / 6,5 son racionales lo que lo hace los números los caminos geométricos trazados por el alambre regresan al punto de partida (si hubiéramos colocado el primer punto de corte a la altura π o raíz cuadrada de 2, nunca hubiéramos llegado a la esquina superior derecha). Que obtener trayectorias cerradas en el toro esté relacionado con la racionalidad de un número es uno de esos fascinantes misterios de las matemáticas.

Tres de los autores de soluciones totalmente correctas recibirán, cortesía de RSME, copias separadas del libro. ¡Resuélvelo! Desafíos divertidos para los curiosos por las matemáticaspor James S. Tanton, parte de la Biblioteca de Estímulos Matemáticos, que la compañía publica en conjunto con Editorial SM. Son Ana y José Luis T. (quienes, habiendo enviado una solución conjunta, tendrán que compartir el libro), Ángela VB y Guillermo C.

Creo que el desafío fue un agradable entretenimiento en estos tiempos difíciles. Para mí, la respuesta entusiasta y el aliento que los lectores transmitieron en sus mensajes compensaron el esfuerzo por mantener esta tradición en un año en el que otros, lamentablemente, tendrán que posponerse. ¡Muchas gracias! En nombre de EL PAÍS, RSME y mía, les deseo unas felices fiestas, aunque sean únicas, mucha suerte mañana con la lotería y, sobre todo, salud.